Пусть инерциальная система К движется в эфире, а система К' движется равномерно и прямолинейно со скоростью (с точки зрения системы К) вдоль оси ОХ системы К . Оси ОХ и О'Х' систем совпадают (рис. 7). При этом в эфире реальные скорости v₁ и v₂ систем не обязаны быть параллельными. Достаточно того, чтобы оси ОХ и О'Х' систем были параллельны вектору v₁ - v₂ . Отсчет времени в обеих системах начинается с момента совпадения их начал. Пусть на осях ОХ и О'Х' происходит событие S₁ . Его координаты в системах К и К' равны соответственно x и t , x' и t' . Совпадение начал систем считаем событием S₂ . Из инвариантности интервала имеем

с² t² - x² = c² t'² - x'² .       (1.20)

Рассмотрим еще событие S₃ , состоящее в том, что начало О' системы К' в момент t оказывается в точке с координатой v ∙ t . В системе К интервал между событиями S₁ и S₃ равен c² (t - t)² - (x - vt)² . В системе К' событие S₃ происходит в момент , так как часы в начале этой системы движутся со скоростью v относительно системы К. Пространственная координата события S₃ в системе К равна, конечно, нулю. Снова в силу инвариантности интервала

.

Отсюда находим x'² , подставляем в (1.20) и получаем

,

.

        (1.21)

,

.

Отсюда  .

В точке с координатой х в момент  оказывается начало системы К' (так как х'=0 ) . При значениях t > точке системы К с координатой х соответствуют точки системы К' с отрицательными координатами. Поэтому минус отбрасываем и получаем

      (1.22)

Выражения (1.21) и (1.22) совпадают с известными формулами преобразований Лоренца и из них можно получить (как и в теории относительности) формулу сокращения стержня , где - собственная длина стержня. Это частный случай формулы (1.2). Сама формула (1.2) для стержня, движущегося относительно инерциальной системы, вообще говоря, в этой системе не выполняется. Если событие S₁ происходит не на осях систем или взаимное положение систем иное, то преобразования координат будут зависеть не только от взаимной скорости v систем, но и от их реальных скоростей v₁ и v₂ в эфире. При этом становится малосодержательным определение длины стержня как расстояния между точками, мимо которых концы стержня проходят одновременно по показаниям часов системы, относительно которой стержень движется. Для события, происходящего не на осях систем, преобразования Лоренца могут выполняться полностью ( y = y' , z = z' ) , но только в случае, когда скорости систем в эфире коллинеарны.