1 и А2 происходят события S1 и S2 соответственно. Первое событие S1 происходит в момент t, а второе событие S2 - в момент t + Δt. Пусть относительно эфира движется со скоростью v система К' , начало которой в момент t оказывается в точке О1, а в момент t + Δt - в точке О2 (рис. 6). Тогда вектор О1О2 равен v Δt. Из точки О1 в точку А1проведем вектор r1, из точки О2 в точку А2- вектор r2, а из А1 в А2 - вектор r. Имеем
r1 + r = v ∙Δt +r2 (1.13)
В эфире расстояние между точками А
1 и А2 равно | r | = r , а Δt - промежуток времени между событиями. Будем называть интервалом s между событиями следующую величину
(1.14)
Найдем промежуток времени между событиями по
часам движущейся системы. Пусть часы системы К', находящиеся в ее начале, показывают время t' в момент t эфирного времени, когда само начало системы оказывается в точке О1. Часы системы, находящиеся в этот момент t в точке А1, показывают время из-за имеющегося дефекта синхронизации. В момент t+Δt (начало системы находится в точке О2) часы в начале системы показывают время . Часы системы, находящиеся в этот момент t +Δt в точке А2 , показывают время .
Тогда в системе К' промежуток времени между событиями равен
Δ
t' = t'2-t'1=Δt(r1-r2) v /c2 .
Учитывая (1.13), получим
Δ
t' = .
Так как
, то окончательно имеем
. (1.15)
Теперь найдем в системе К' расстояние между точками, в которых произошли события S
1 и S2 . С точки зрения наблюдателей системы К' точка первого события остается неподвижной относительно системы. В системе эту точку могут обозначить меткой, которая будет двигаться в эфире со скоростью v , переходя из точки А1 в точку А'1. Радиус-вектор, проведенный в системе К' из ее начала в точку первого события, параллельным переносом переходит из вектора r1 в вектор О2А'1=r1 к тому моменту, когда происходит второе событие. Для системы К' вектором, проведенным из точки первого события в точку второго события, будет вектор r12 = r2 - r1 . Длина вектора r12 , измеренная в системе К' , как раз и будет расстоянием между точками событий по мнению наблюдателей системы К' . Она равна r' = r12 ,
Из (1.15) и (1.16) найдем интервал между событиями в системе К'
:
s'= .
Поскольку система К' взята произвольно, то для другой системы К'' тоже будем иметь
s=s'' . Отсюда s'=s'' для любых систем К' и К''. Интервал инвариантен. Подчеркнем, что этот результат получается именно при синхронизации световым сигналом по правилу Эйнштейна.
Пусть событие
S1 состоит в том, что некоторое тело Т находится в точке А1, а событие S2 - в том, что это тело находится в точке А2. Пусть тело Т двигалось равномерно со скоростью v0 вдоль вектора r. Очевидно r = v0 ∙ Δt и r = v0 ∙ Δt . Найдем скорость v' тела Т с точки зрения системы К', в которой оно за время Δt' проходит расстояние r' .
' поместим неподвижное относительно нее тело Т'. Найдем скорость тела Т' в системе К. Поскольку теперь скорость системы равна v0, то в (1.17) вместо v входит v0. Скорость тела теперь равна v, а, значит, в (1.17) заменяем v0 на v. Но в формулу (1.17) обе величины v и v0 входят равноправным образом и, заменив v0 на v, а v на v0 , мы получим то же значение v'. Вычисляя скорость тела Т в системе К' , связанной с телом Т' , или скорость тела Т' в системе К, связанной с телом Т, мы получаем одно и то же значение. Скорость v' тела Т' с точки зрения наблюдателя на теле Т равна скорости v' тела Т с точки зрения наблюдателя, находящегося на теле Т'.
Покажем, что подкоренное выражение в (1.17) неотрицательно. Для этого заметим, что (
c2 - vv0)2 ≥ (c2 - v v0)2 , а (c2 - v v0)2 ≥(c2 - v2) (c2 - v02) .
Действительно, имеем
с
4 + v2v02 - 2c2vv0 ≥ c4 - c2v02 - c2v2 + v2v02 ,
v2 + v02 - 2vv0 ≥ 0 .
Можно показать, что в случае переменной v0 длина в системе К' вектора, равного
выражается формулой (1.17), то есть в этой формуле под скоростью v0 можно понимать переменную величину v0 = v0 (t). Скорость v системы К' постоянна.
Получим еще один вид формулы (1.17), из которой находим